Übungsaufgabe zum Steigungs- und Tangentenberiff


Wir betrachten die Normalparabel, die 3 nach rechts und zwei nach oben verschoben ist.
a) Zeige es gilt f(x)=x²-6x+11

Von Punkt B(0,0) wird ein Ursprungsgerade s durch den Punkt A(a|b) auf dem Graphen von f gezeichnet.
t sei die Tangente im Punkt A(a|b) an den Graphen von f.

b) Gibt es eine Lage des Punktes A, bei der t und s senkrecht zueinander verlaufen?

Das ist ein mit GeoGebra www.geogebra.org erstelltes Java-Applet. Möglicherweise ist Java auf Ihrem Computer nicht installiert; bitte besuchen Sie in diesem Fall www.java.com

Man erhält einige Bedingungen:

f'(a) = 2a-6 , 

f(a) = b = a ²-6a+11

und s hat die Steigung b/a = -1/(2a-6)

c)    Erläutere diese Bedingungen. Aus welchen Überlegungen erhält man diese Bedingungen? Zeige, dass die Variable a die Gleichung 2a³-18a²+59a-66=0 erfüllen muss.

Im Arbeitsblatt ist die Nullstelle der Funktion g(x)=2x ³-18x²+59x-66 als  Punkt D bezeichnet.

Die x-Koordinate von D ist x=2,46221.

d)  Prüfe nach, dass der Winkel zwischen s und t gerade 90° wird, wenn man A an diese Stelle verschiebt.

Die rechnerische Lösung ergibt mit einem CAS-System:

CAS

e) Löse die Gleichung dritten Grades mit dem eigenen Taschenrechner!

Klaus Werner, 24.02.2011, Erstellt mit GeoGebra